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【我的大学课堂】分析之美——我的“数学分析”课
日期: 2013-02-07  信息来源: 新闻网记者 张天一

【编者按】课堂是大学教学活动的重要场所,无论是严谨求实不断创新的教学方法,还是教学相长充满活力的课堂氛围,都有利于激发学生的创新思维能力。本网开辟的【我的大学课堂】专题,由北大学生介绍自己亲历的大学课堂,通过他们的视角,来展现北大多元、开放、丰富多彩的课堂文化及能给学生带来思考和创新启迪的任课教师的风采。

提起数学分析,大家应该都并不陌生:外行视之为天书,满篇符号定理,似无美感可言;内行则深谙“分析乃数学基础”这一金科玉律,勤学苦练,却往往仍是疑惑无数,哀叹力不从心。故江湖有言曰“数分猛于虎也”。然而,有这么一位老教师,他的数分课堂妙趣横生,干巴巴的定理在他的描绘下胜似一件件艺术品;他的“作业”极具指导性与针对性,特殊的训练使学生们高效地掌握了这门主干基础课的基本内容,做到“心中有数”。他,就是北京大学数学科学学院教授谭小江老师。

天地有大美而不言

“人类历史上最伟大的事情之一是将因果关系作为研究对象,特别地,当因果关系可以表征为函数的形式时,数学分析诞生了,所以可以说数学分析的本来目的是为研究函数提供工具。但神奇的是,在提供工具的同时数学分析窥探到了这世界最本真的抽象美。有别于代数上的形式美,分析之美是依赖于实数理论的,是绝对的,它反映了我们所在世界的客观属性。”因此,谭老师常说分析学是实实在在的“天地有大美而不言”。课堂上的他,俨然是一位艺术家,鉴赏着那些颇值玩味的艺术品(各种公式定理)。学生们看在眼里,记在心里。

分析学的理论本身是一大美,而人类对分析的研究历程又是一大美。在第一堂数学分析课上,谭老师就引述了著名数学家R.柯朗的一段话来阐述自己的教学理念:微积分,或者数学分析,乃是撼人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经经历两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域,并且,只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止,这种奋斗就将继续不已。“我希望同学们能够在学习过程中对分析学、对前辈数学家怀有一颗最真诚的虔敬之心。”正是在这样的启发下,一群懵懵懂懂的大一新生开始了他们的“朝圣之旅”。

特训助英才

王安石在《游褒禅山记》中曾有言:世之奇伟、瑰怪、非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也。这话用在谭老师的分析课堂上再恰当不过。老师脑子极灵活,吐字极快,写粉笔字又如行草书,这使得一堂课的信息量颇大,欲消化之少则几个小时,多则几天,故云“功夫在课下”。话虽不假,可这功夫该怎么下呢?

凭借着近20年的分析学教学经验,谭老师逐渐研究出了一套独特而高效的训练方法,其核心便是狠练基本功。“数学分析这门课,学生最大的问题就是眼高手低。讲起来一套一套,等到亲自动手证的时候就不知所措了。很多时候并不是学生证不出来某某定理,而是他不知道自己其实没证出来某某定理,或者干脆就没读懂定理,更不要提证明、理解了。”正因此,谭老师的课后作业鲜有技巧性很高的题目,其重心放在了对定义、对基本定理的表述与证明上。这样的风格还延续到了课程的考核上:“请用最大最小原理证明确界原理” “试论述一型曲面积分的定义不依赖于曲面的可定向性”。这种题目很难在标准的习题集上遇到,如果是初逢自然会相当棘手,然而课下若是严格按照谭老师的要求亲自动手“讲定义;证定理;复写笔记;读菲赫金哥尔茨与卓里奇”(菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》与卓里奇的《数学分析》是谭小江老师指定的教学参考书),自然会有些思路,进而去尝试解决之。也因此,学生们亲切地称这种较为另类的问题为“小江风格试题”。

数学分析不是一个人闷头修行可以学好的,这是谭老师的另一教学观点。他主张同学多与老师交流,相互之间多讨论。在谭老师的号召下,不少学生形成了以寝室为单位的讨论小组,往往开始时是“舌战”,逐渐升级为“纸上交锋”。纸上交锋受限于空间位阻,只能容许两三人同时争论,大家都深感不爽。最后干脆买来了几块小黑板,悬挂于各寝室门后——由此,寝室成了数学分析的第二课堂。正是在这样的氛围下,同学们的数学水平得到了长足的进步。

一半内容是讲座的课堂

三学期的数学分析课,学生们在科学的指导、训练下逐步成长。而随着学习的深入,越来越会发现一些基本知识会引出现代数学的某些相关内容。在综合考虑了同学们的数学水平与教学实际情况后,谭老师在讲数学分析(Ⅲ)时启动了新的教学模式:重视基础的原则不变,努力在一些自然生长点上作拓展,从而恰当地引入现代数学的某些基本概念。

这样的直接结果是:谭老师的课堂有近一半内容是关于现代数学的讲座。“讲座者,不考也,但仍望大家开动脑筋。”可就是这不考的讲座,却依然是满席。课堂回归到了它的本来面貌,不再有任何功利性;为师者,传道授业解惑,不改本色。通过对逆变换定理及微分流形的系统介绍,同学们反而加深了对基本定理隐函数定理的理解;而从二型曲面积分引出外微分与微分形式的概念,老师整整讲了五堂大课,堂堂饱含激情。

与往常一样,课后老师仍然会被众星捧月般地围在中间,黑板上又会多几行不一样的字体。那些密密麻麻的数学符号,凝聚的是师生间的相互信任,以及他们对于数学共同的热爱,恰如数学本身一样,美好而纯粹。

编辑:拉丁

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